随机过程与马尔可夫 可视化实验室
用交互式 SVG 呈现马尔可夫链、MCMC、泊松过程、布朗运动、HMM 等随机过程核心技术。八个模块，纯原生实现。
马尔可夫链 — 转移矩阵与平稳分布
离散马尔可夫链满足无记忆性：P(Xₙ₊₁|Xₙ,...,X₀)=P(Xₙ₊₁|Xₙ)。状态转移矩阵 P 的行和为 1。不可约非周期链存在唯一平稳分布 π，满足 πP=π。点击状态模拟转移。
三状态马尔可夫链
天气模型：晴→晴 0.7，晴→雨 0.2，晴→阴 0.1。点击状态触发转移，观察轨迹。右侧 π 条形图显示经验分布随时间收敛到平稳分布。
π = πP → π 是 Pᵀ 的特征值为 1 的左特征向量
MCMC 采样 — Metropolis-Hastings
Metropolis-Hastings 算法从不可归一化的目标分布 π*(x) 采样：提议 q(x→y)，接受率 α=min(1, π*(y)q(y→x)/π*(x)q(x→y))。样本轨迹逐步覆盖目标分布。Mixing 时间衡量收敛速度。
Metropolis-Hastings 采样双峰分布
目标为混合高斯 π*(x)=0.6N(−2,1)+0.4N(2,0.8)。对称高斯提议 q=N(x,σ²)。点击“采样”逐步生成。接受率过低说明步长过大，过高则探索不足。
α(x,y) = min(1, π*(y)/π*(x)) (对称提议)
泊松过程 — 到达与计数
齐次泊松过程：事件到达率 λ，间隔服从 Exp(λ)，计数 N(t)~Poisson(λt)。独立增量、平稳增量。点击“生成事件”观察到达时间轴与计数过程 N(t) 的阶梯增长。
泊松过程 N(t) 计数曲线
时间轴上标记事件到达时刻 Tᵢ=Tᵢ₋₁+Δᵢ，Δᵢ~Exp(λ)。N(t) 为阶梯函数。黄色虚线为期望 E[N(t)]=λt。调整 λ 观察到达密度变化。
P(N(t)=k) = (λt)ᵏe⁻λᵗ/k!, E[Δ]=1/λ, Var[Δ]=1/λ²
布朗运动 — 随机游走与方差
标准布朗运动 W(t)：连续路径、独立增量、W(t)~N(0,t)。带漂移 X(t)=μt+σW(t)，几何布朗 S(t)=S₀exp((μ−σ²/2)t+σW(t))（Black-Scholes 资产模型）。方差随 t 线性增长。
布朗运动路径模拟
离散化 ΔW~N(0,Δt)。绿色为 W(t)，紫色虚线为漂移 μt，黄色为 ±σ√t 标准差包络。多条路径叠加显示方差扩散。切换几何布朗观察资产价格行为。
Var[W(t)] = t, X(t)=μt+σW(t), S(t)=S₀·exp((μ−σ²/2)t+σW(t))
隐马尔可夫模型 — Viterbi 解码
HMM 三要素：初始 π、转移 A、发射 B。观测序列可见，隐状态不可见。Viterbi 算法动态规划求最可能隐状态路径；前向算法计算观测序列概率 P(O|λ)。
Viterbi 解码 (天气 HMM)
隐状态 {晴,雨}，观测 {散步,购物,打扫}。给定观测序列，Viterbi 递推 δₜ(j)=max_i δₜ₋₁(i)·aᵢⱼ·bⱼ(oₜ)，回溯得最优隐状态序列。点击“解码”分步执行。
δₜ(j) = max_i [δₜ₋₁(i)·aᵢⱼ]·bⱼ(oₜ), ψₜ(j)=argmax_i
M/M/1 排队模型
M/M/1：到达泊松(λ)、服务指数(μ)、单服务台。稳定条件 ρ=λ/μ<1。稳态队长分布 P(n)=(1−ρ)ρⁿ，平均队长 L=ρ/(1−ρ)，平均等待 W=1/(μ−λ)。Little 定律 L=λW。
M/M/1 排队动态模拟
顾客按 Poisson(λ) 到达，服务时间 Exp(μ)。点击“运行”模拟。利用率 ρ=λ/μ 必须 < 1 才稳定。ρ→1 时队列爆炸，等待时间趋于无穷。
L=ρ/(1−ρ), W=1/(μ−λ), P(n)=(1−ρ)ρⁿ, Little: L=λW
更新过程 — Renewal Theory
更新过程：独立同分布间隔 {Xᵢ}，到达时刻 Sₙ=ΣXᵢ，计数 N(t)=max{n:Sₙ≤t}。更新函数 m(t)=E[N(t)]。大数定律 Sₙ/n→μ。关键更新定理刻画长期更新率 1/μ。
更新过程与大数定律
间隔分布可选 Exp(泊松特例)、Gamma、Uniform。紫色阶梯为 N(t)，黄色为更新函数 m(t)，红色虚线为渐近线 t/μ。切换分布观察 m(t) 趋近 t/μ 的速度。
Sₙ/n → μ a.s., m(t)/t → 1/μ, 关键更新定理: U*h → h/μ
鞅与停时 — 公平博弈
鞅：E[Xₙ₊₁|Fₙ]=Xₙ，即给定历史期望不变（公平博弈）。停时 T 是不依赖未来的随机时刻。可选停时定理：若 T 有界或条件满足，则 E[X_T]=E[X₀]。鞅收敛定理保证 L¹ 有界鞅几乎必然收敛。
对称随机游走鞅模拟
Xₙ=Σξᵢ，ξᵢ=±1 等概率，是关于自然流的鞅。设定上下边界 a, b 作为停时（首次到达）。点击“运行”观察多条路径，到达边界即停止。验证 E[X_T]≈X₀（需停时有界条件）。
E[Xₙ₊₁|Fₙ]=Xₙ, T=inf{n:Xₙ∉(−a,b)}, E[X_T]=X₀ (条件成立时)