博弈论进阶 可视化实验室
用交互式 SVG 呈现机制设计、拍卖理论、VCG 机制、Shapley 值、演化博弈等博弈论前沿技术。八个模块，纯原生实现。
机制设计 Mechanism Design
激励相容 IC 与个人理性 IR。直接显示机制中，真实类型 θᵢ 报告为 θ̂ᵢ；IC 要求真实报告是最优策略，IR 要求参与效用不低于保留效用。点击切换类型并观察 IC/IR 约束。
直接显示机制
机制 f(θ̂) = (x(θ̂), t(θ̂))。激励相容要求 uᵢ(θᵢ) ≥ uᵢ(θᵢ, θ̂ᵢ) 对任意 θ̂ᵢ 成立；个人理性要求 uᵢ(θᵢ) ≥ 0。下方展示真实效用与最优谎报效用之差（IC gap）。
拍卖理论 Auction Theory
Vickrey 二价拍卖中真实出价是占优策略；First-Price 一价拍卖均衡需向下压价。收益等价定理：风险中性下两者期望收益相同。切换拍卖类型观察出价与支付差异。
收益等价定理
在 IPV 模型与风险中性假设下，任何满足对称性、正则性的拍卖机制，若分配规则相同（最高价中标），则期望收益相等。Vickrey 支付第二高价，First-Price 均衡出价 b = (n-1)/n · v。
VCG 机制 Vickrey-Clarke-Groves
VCG 选择社会剩余最大化的分配，每人为其施加的外部性付费（Clarke pivot）。是激励相容的直接机制。调整各投标者估值，观察分配与 VCG 支付。
Clarke 支付规则
VCG 分配 x* = argmax Σ vᵢ(x)。每个投标者支付其外部性：tᵢ = Σⱼ≠ᵢ vⱼ(x₋ᵢ*) − Σⱼ≠ᵢ vⱼ(x*)。即“没有你时别人的福利”减“有你时别人的福利”。该规则保证真实报告是占优策略。
合作博弈 Cooperative Games
Shapley 值：所有排列下边际贡献的平均。核 Core：无子联盟能改进的分配。核仁 Nucleolus：最小化最大不满。逐步枚举排列观察 Shapley 值的累积。
Shapley 值公式
φᵢ = Σₛ⊆N\{i} (|S|! (n-|S|-1)!) / n! · [v(S∪{i}) − v(S)]。Shapley 值是唯一满足效率、对称、哑玩家、可加性的解概念。核是所有满足个体理性与联盟理性的分配集合。
纳什均衡存在性 Nash Existence
有限博弈必存在混合策略纳什均衡。证明依赖 Kakutani 不动点定理：最优反应对应在单纯形上有凸值闭图，必有不动点。调整收益矩阵，观察最优反应曲线交点。
Kakutani 不动点定理
设 C 为非空紧凸集，F: C → 2ᶜ 为集值映射，图像闭且 F(x) 非空凸，则存在 x* 使 x* ∈ F(x*)。在博弈中 C = 单纯形积，F = 最优反应对应，不动点即纳什均衡。
重复博弈 Repeated Games
无限重复博弈中，折扣因子 δ 决定合作可维持性。Grim Trigger：一旦对手背叛则永久背叛；Tit-for-Tat：复制对手上轮行动。播放回合观察策略轨迹与累计收益。
无名氏定理 Folk Theorem
对足够大的 δ，无限重复博弈的子博弈完美均衡可支撑任何个人理性收益。Grim Trigger 维持合作条件：δ ≥ (T−R)/(T−P)，其中 R 为互相合作收益，T 为背叛诱惑，P 为互相惩罚。
演化博弈 Evolutionary Games
ESS 进化稳定策略：群体中占多数时，突变策略无法入侵。复制动态方程 ẋ = x(f(x) − f̄) 描述策略频率演化。调整收益矩阵，观察单纯形中的轨迹。
ESS 判据
策略 x* 是 ESS 当且仅当：① x* 是纳什均衡；② 对任意最优反应 y≠x*，有 u(x*,x*) > u(y,x*)，或 u(x*,x*) = u(y,x*) 且 u(x*,y) > u(y,y)。复制动态的不动点即纳什均衡，渐近稳定者即 ESS。
匹配市场 Matching Markets
Gale-Shapley 延迟接受算法：一方依次求婚，另一方暂时保留最优提议。算法必然终止于稳定匹配（无阻塞对）。单步执行观察求婚与接受过程。
稳定匹配 Stable Matching
匹配 μ 稳定当且仅当不存在阻塞对 (a,b)：a 偏好 b 胜过 μ(a)，且 b 偏好 a 胜过 μ(b)。Gale-Shapley 必在 O(n²) 内终止。男求婚后结果是男最优稳定匹配，女求婚则是女最优。