机器学习数学基础 · 交互式可视化

用几何与动画，
理解机器学习的数学骨架

八个交互模块覆盖线性代数、概率论、微积分、信息论与优化。拖动参数，观察空间如何变形、分布如何变化、梯度如何流动——让抽象公式变成可触摸的几何。

8
交互模块
0
外部依赖
SVG
原生渲染
MIT
开源协议
MODULE 01 / LINEAR ALGEBRA

线性变换

矩阵乘法的几何意义：一个 2×2 矩阵如何拉伸、旋转、剪切整个空间。观察基向量 i 与 j 的运动，理解行列式与面积缩放的关系。

矩阵变换可视化 A · v
R² → R²
矩阵 A[1, 0; 0, 1]
动画插值0%
矩阵 A 作用于向量 v 等价于对基向量重新线性组合。行列式 det = ad − bc 衡量面积缩放因子；负值表示空间翻转（含镜像）。
行列式 det(A)
1.000
迹 trace(A)
2.000
面积缩放
1.00x
空间翻转
否
MODULE 02 / PROBABILITY

概率分布

高斯、伯努利、多项、Beta 四大分布的形态与参数直觉。调节参数实时观察概率密度（质量）函数的形状变化，理解均值、方差与熵的几何含义。

分布函数可视化 PDF / PMF
Gaussian(0, 1)
均值 μ0.0
标准差 σ1.0
高斯分布 N(μ,σ²) 是自然界与中心极限定理的核心。σ 越大分布越扁平；曲线下面积恒为 1。
均值 E[X]
0.000
方差 Var(X)
1.000
熵 H(X)
1.419
峰值/众数
0.399
MODULE 03 / CALCULUS

梯度与雅可比

标量场的梯度指向函数增长最快的方向；雅可比矩阵描述向量值函数的局部线性近似。移动采样点，观察梯度向量如何随位置变化。

梯度场可视化 ∇f(x,y)
f(x,y) = x² + y²
采样点 x0.0
采样点 y0.0
梯度 ∇f = [∂f/∂x, ∂f/∂y] 始终垂直于等高线，指向函数值增大方向。负梯度即是梯度下降的方向。
f(x,y)
3.250
∂f/∂x
3.000
∂f/∂y
2.000
‖∇f‖
3.606
MODULE 04 / LINEAR ALGEBRA

特征分解

特征向量是变换中方向不变的向量，特征值是它被拉伸的倍数。谱分解 A = QΛQ⁻¹ 揭示了线性变换的本质：沿特征方向缩放。

特征向量与谱分解 A = QΛQ⁻¹
eigendecomposition
矩阵 A[2, 1; 1, 2]
动画进度0%
A v = λ v
特征向量 v 在变换后只被缩放 λ 倍，方向不变。红色为 λ₁ 方向，紫色为 λ₂ 方向。
特征值 λ₁
3.000
特征值 λ₂
1.000
迹 = λ₁+λ₂
4.000
det = λ₁·λ₂
3.000
MODULE 05 / INFORMATION THEORY

信息论度量

熵衡量不确定性，交叉熵是分类损失的数学根源，KL 散度度量两个分布的差异。调节 P 与 Q，观察这些度量如何变化。

分布差异可视化 H · CE · D_KL · I
P vs Q (4 outcomes)
分布 P (4 事件)[.4,.3,.2,.1]
分布 Q 偏移0.0
熵 H(P)=−Σpᵢlog₂pᵢ 衡量 P 的不确定性。KL散度 D_KL(P‖Q)=Σpᵢlog(pᵢ/qᵢ) 衡量用 Q 近似 P 的信息损失，非对称且非负。
熵 H(P)
1.846
交叉熵 H(P,Q)
2.057
KL散度 D(P‖Q)
0.211
H(Q)
1.846
MODULE 06 / OPTIMIZATION

凸优化

凸函数有唯一全局最小值，梯度下降沿负梯度方向迭代逼近。观察学习率如何影响收敛速度与稳定性，理解鞍点与局部最优的区别。

梯度下降轨迹 θ ← θ − η∇f
gradient descent
学习率 η0.10
起点 x₀-2.5
梯度下降沿 −∇f 方向更新参数。学习率过大导致振荡发散，过小则收敛极慢。凸函数保证任意起点都能到达全局最优。
迭代次数
0
当前 f(x)
—
当前梯度
—
状态
就绪
MODULE 07 / BAYESIAN

贝叶斯推断

先验 × 似然 = 后验。随着观测数据累积，后验分布不断更新，从先验信念收敛到真实参数。这是贝叶斯学习的核心动态过程。

后验更新动画 P(θ|D) ∝ P(D|θ)·P(θ)
Beta-Binomial model
先验 α (成功)2
先验 β (失败)2
真实成功概率 θ0.65
Beta-Binomial 共轭：先验 Beta(α,β)，观测到 k 次成功 / n 次试验后，后验为 Beta(α+k, β+n−k)。曲线从先验逐步收敛到真实 θ。
观测次数 n
0
成功 k
0
后验均值
0.500
后验方差
0.050
MODULE 08 / MATRIX FACTORIZATION

矩阵分解

SVD 将矩阵分解为旋转-缩放-旋转；QR/LU/Cholesky 是求解线性方程组的基础工具。每种分解揭示矩阵的不同几何与代数结构。

分解过程可视化 SVD
A = UΣVᵀ
输入矩阵[3,1; 1,2]
动画阶段阶段 1
SVD: A = UΣVᵀ。U、V 为正交矩阵（旋转），Σ 为对角矩阵（沿轴缩放）。任意实矩阵都存在 SVD，是 PCA 与推荐系统的数学基础。
奇异值 σ₁
3.620
奇异值 σ₂
1.376
条件数 σ₁/σ₂
2.631
秩 rank(A)
2